Algebra

FACTORIZACION

Es el proceso por medio del cual descomponemos en factores alguna cantidad,  en algebra hay algunos casos importantes tales como:

FACTOR COMUN

Se dice que un polinomio tiene factor común cuando una misma cantidad, ya sea número o letra, se encuentra en todos los términos del polinomio.

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Para efectuar el factor común hay que tomar en cuenta que este se realiza tanto para los números como para las letras, y con las letras se toma la que tenga el menor exponente de todas.

Ejemplo:

Como puede verse el cinco es el común numérico y la “x” la única letra común en este polinomio, como dos es el menor exponente de “x” es este el exponente que se tomara en cuenta, siendo el factor común 5x2.
Nos queda como respuesta:

Ejemplos:
Encontrar el factor común de los siguientes términos:

 Factor común por agrupación de Términos.

PROCEDIMIENTO.

1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,
Separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.
2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que
los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las
 cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común
 en cada grupo, sean exactamente iguales.
3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común

 Polinomio.

Ejemplos:
a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)
1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by)
2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)
3º) Formando factores: uno con  los términos con factor común y otros con los términos comunes (a+b)(x+y), que es la solución.
b) 3m² -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)
1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m² -6mn)+(4m-8n)
2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)
3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4)   <– Solución.

^{DIFERENCIA DE CUADRADOS}

La diferencia de cuadrados se factoriza como el producto de la suma de las raíces cuadradas de los dos términos por la diferencia de la raíz cuadrada del primero menos la raíz cuadrada del segundo.

a² - b² = (a + b)(a - b)

EJEMPLO:

1.     16x² -  9y²

Proceso: Raíz cuadrada  del primer término  (Raíz del Coeficiente y mitad del exponente de la variable)   16x² = 4x

              Raíz cuadrada  del segundo término  (Raíz del Coeficiente y mitad del exponente de la variable)  9y² = 3y

Respuesta: 16x² -  9y²= (4x + 3y)(4x - 3y)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

 Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases e esos cuadrados. 

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:

Ambas son respuestas aceptables.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto

Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.

Ejemplos:

 Trinomio de la forma x² +bx +c

El Trinomio de la forma x² +bx +c, debe cumplir las siguientes condiciones:
1) El coeficiente del 1° término debe ser 1.
2) El 1° término debe ser una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3) El 2° término tiene la misma letra que el 1° con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.
4) El 3° término es una cantidad cualquiera positiva o negativa, sin letra como el 1° y el 2° término.
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Procedimiento para factorar   x²+bx +c
1°) Se descompone el trinomio en 2 factores binomios, cuyo 1° término en ambos factores, es la raíz cuadrada del primer término del trinomio. (x   )(x   )
2°) En el 1° factor después de la letra se escribe el signo del 2° término del trinomio ( x+  ), y en el 2° factor después de la letra se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del 3° término del trinomio.  (x)(x) = x –>(x+  )
3°) Si los factores binomios tienen el mismo signo después de la letra
(x+  )(x+  ) se buscan 2 números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3° término del trinomio.  Y estos 2 números se colocan como 2° términos dentro de los factores binomios.
4°) Si los 2 factores binomios tienen signos distintos después de la letra (x+  )(x-  )   ó (x-  )(x+  ) se buscan 2 números cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficientes del 2° término del trinomio; y cuyo producto sea igual al valor absoluto del coeficiente del 3°término del trinomio.   El mayor de estos 2 números es el 2° término del primer factor binomio y el menor es el 2° término del 2° factor binomio.
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Ejemplos:
a) Factorar x² +5x +6
1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:
–> raíz cuadrada de x² = x  –>  (x   )(x   )
2°) Signos de los binomios:
.     1° binomio :  signo del 2° término del trinomio es “+”
.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (+)(+) = “+” -->(x+  )(x+  )
3°) Como los signos de los binomios son iguales:
.     números buscados: 3 y 2 porque :
.     3+2 = 5   que es igual al 2° término del trinomio.
.     (3)(2) = 6  que es igual al 3° término del trinomio.   –>  (x+3)(x+2),  Solución
b) Factorar   x² -7x +12
1°) Descomponer el trinomio en dos factores binomios:
–> raíz cuadrada de x² = x –> (x   )(x   )
2°) Signos de los binomios:
.     1° binomio : signo del 2° término del trinomio es “-”
.     2° binomio : producto de los signos del 2° y 3° términos del trinomio (-)(+) = “-” –>(x-  )(x-  )
3°) Como los signos de los binomios son iguales:
.      números buscados : 4 y 3 porque:
.      -4 -3 = -7 que es igual al 2° término del trinomio.

.      (-4)(-3) = 12  que es igual al 3° término del trinomio  –> (x-4  )(x-3  ), Solución.